調和比（ちょうわひ）
最終更新：2026/4/22
調和比は、ユークリッド幾何学において、4つの点による比率を表す概念であり、射影幾何学における基本的な不変量である。
別名・同義語 ハーモニック・レシオクロスレシオ
ポイント
調和比は、点の位置関係を記述する際に用いられ、透視図法や射影変換の解析に役立つ。特に、無限遠点を含む場合に重要な性質を示す。
調和比の定義
調和比は、共線上の4点A, B, C, Dに対して、比率(A, B; C, D) = (AC/AD) / (BC/BD)として定義される。この比率は、点の並び順に依存せず、射影変換によって不変であるという性質を持つ。
調和比の性質
調和比が-1であるとき、CとDはAとBに関して調和的に共役であると言われる。この場合、A, B, C, Dは調和点列をなす。調和点列は、透視図法における消失点や、射影幾何学における双対性の概念と深く関連している。
調和比の応用
調和比は、以下の分野で応用されている。
- 透視図法: 絵画や設計において、奥行きや遠近感を表現するために用いられる。
- 射影幾何学: 射影変換の解析や、不変量の研究に用いられる。
- 計算幾何学: 幾何学的アルゴリズムの設計や、点の位置関係の判定に用いられる。
- コンピュータグラフィックス: 3次元空間における視点変換や、レンダリング処理に用いられる。
調和比の計算例
A, B, C, Dをそれぞれx座標a, b, c, dを持つ共線上の点とする。このとき、調和比(A, B; C, D)は、(c-a)/(c-b) / (d-a)/(d-b)と計算できる。この式を用いることで、具体的な点の座標から調和比を求めることができる。