素数指数（そすうしすう）

最終更新：2026/4/22

素数指数とは、ある整数を素因数分解した際に、その素因数の指数として現れる整数のこと。

別名・同義語素因数指数素数冪指数

ポイント

素数指数は、整数の約数や倍数を決定する上で重要な役割を果たす。例えば、12 = 2^2 * 3^1 であり、2の素数指数は2、3の素数指数は1である。

素数指数の概要

素数指数は、数論における基本的な概念であり、整数の性質を理解する上で不可欠である。ある整数nが素数pのk乗で割り切れるとき、pの素数指数はkである。これは、nの素因数分解におけるpの指数に対応する。

整数nの素数pに対する素数指数νp(n)は、nをpで何回割り切れるかによって決定される。具体的には、以下の式で表される。

νp(n) = max{k ∈ ℤ | p^k ≦ n}

ここで、ℤは整数全体の集合を表す。この式は、nをpで繰り返し割り切れる回数を数えることで、素数指数を求めることができることを示している。

素数指数は、様々な数論の問題に応用される。例えば、整数の約数の個数を求める問題や、最大公約数・最小公倍数を求める問題などである。また、素数指数は、暗号理論や情報セキュリティの分野でも重要な役割を果たしている。

整数nの約数の個数は、nの素因数分解を用いて計算できる。n = p1^a1 * p2^a2 * … * pk^ak とすると、nの約数の個数は (a1 + 1)(a2 + 1)…(ak + 1) で与えられる。ここで、ai は素数 pi の素数指数を表す。

2つの整数aとbの最大公約数(GCD)と最小公倍数(LCM)は、素数指数を用いて計算できる。素数pに対するaとbの素数指数の最小値をd(p)とし、最大値をe(p)とすると、GCD(a, b) = p^d(p) であり、LCM(a, b) = p^e(p) である。