複素解析（ふくそかいせき）

最終更新：2026/4/25

複素解析は、複素数を変数とする関数の微分積分を扱う数学の一分野である。

別名・同義語解析関数論複素関数論

ポイント

実解析と密接に関連し、物理学や工学における様々な問題に応用される。特に、流体力学や量子力学において重要な役割を果たす。

複素解析とは

複素解析は、複素数を変数とする関数の性質を研究する数学の一分野です。実解析が実数を扱うのに対し、複素解析は複素数という拡張された数体系を扱います。複素数は、実部と虚部から構成され、平面上に表現することができます。

複素数は、一般的に z = x + iy の形で表されます。ここで、x は実部、y は虚部、i は虚数単位（i² = -1）です。複素数は、複素平面上で点として表現され、実軸と虚軸によって構成されます。

複素関数 f(z) の微分は、実関数の微分とは異なる特徴を持ちます。複素関数の微分可能性は、コーシー・リーマンの方程式を満たすことで判定されます。この方程式は、関数の実部と虚部の偏微分に関する条件を示しています。

複素関数 f(z) の積分は、複素平面上の経路に沿って行われます。複素積分は、実積分とは異なり、経路の取り方によって値が変化することがあります。コーシーの積分定理は、複素積分の重要な性質を示しており、解析的な関数に対しては、閉曲線上の積分が0になることを保証します。

複素解析には、多くの重要な定理が存在します。例えば、リューヴィルの定理は、有界な全関数が定数関数であることを示しています。また、大木定理は、解析的な関数の零点の分布に関する情報を提供します。

複素解析は、数学以外の分野にも広く応用されています。例えば、流体力学における流れの解析、電気回路におけるインピーダンスの計算、量子力学における波動関数の解析などに利用されています。