微分方程式（びぶんほうていしき）
最終更新：2026/4/16
未知関数とその導関数を含む方程式。物理現象や工学における様々なモデルを記述するために用いられる。
別名・同義語 微分方程式論差分方程式
ポイント
時間や空間の変化を伴う現象を数学的に表現する強力なツールであり、解法は解析的、数値的に行われる。
微分方程式とは
微分方程式とは、未知関数とその導関数を含む方程式のことです。例えば、ある物体の運動を記述する際、物体の位置、速度、加速度の関係は微分方程式で表すことができます。このように、微分方程式は物理学、工学、経済学など、様々な分野で現象をモデル化するために広く用いられています。
微分方程式の種類
微分方程式は、いくつかの種類に分類されます。
- 常微分方程式 (ODE)：未知関数が1つの独立変数のみの関数である微分方程式。
- 偏微分方程式 (PDE)：未知関数が複数の独立変数の関数である微分方程式。
- 線形微分方程式：未知関数とその導関数に関して線形である微分方程式。
- 非線形微分方程式：線形でない微分方程式。
これらの分類に加えて、方程式の階数（最高次の導関数の階数）によっても分類されます。
微分方程式の解法
微分方程式の解法は、解析的な方法と数値的な方法があります。
- 解析解法：微分方程式を直接解いて、未知関数の具体的な関数形を求める方法。しかし、多くの微分方程式は解析的に解くことが困難です。
- 数値解法：微分方程式を離散化し、コンピュータを用いて近似解を求める方法。例えば、オイラー法、ルンゲ・クッタ法などがあります。
微分方程式の応用例
微分方程式は、様々な分野で応用されています。