調和級数（ちょうわきゅうすう）

最終更新：2026/4/22

調和級数は、逆数の無限和であり、1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... で表される級数である。

別名・同義語逆数級数調和数列の和

ポイント

調和級数は発散級数であり、部分和は無限大に近づく。しかし、その発散は非常に遅い。

調和級数の概要

調和級数は、数学において基本的な級数の一つです。一般的に、以下の形で表されます。

∑ (1/n) (n = 1 から ∞)

この級数は、各項が自然数の逆数であるため、直感的には有限の値に収束するように思えるかもしれません。しかし、実際には発散し、無限大に近づきます。

調和級数の発散は、様々な方法で証明できます。代表的な証明方法の一つは、積分判定法を用いる方法です。

積分判定法によれば、関数 f(x) が正で単調減少する場合、級数 ∑ f(n) の収束・発散は、積分 ∫ f(x) dx の収束・発散と一致します。

調和級数の場合、f(x) = 1/x となり、積分 ∫ (1/x) dx は発散するため、調和級数も発散することが示されます。

調和級数の部分和 H(n) は、以下の式で表されます。

H(n) = ∑ (1/k) (k = 1 から n)

部分和 H(n) は、n が大きくなるにつれて、ln(n) + γ に漸近的に近づきます。ここで、γ はオイラー・マスケローニ定数と呼ばれる定数であり、約 0.57721 の値をとります。

調和級数は、数学の様々な分野で応用されています。例えば、確率論における期待値の計算や、数値解析における数値積分などがあります。

また、調和級数は、コンピュータサイエンスにおいても重要な役割を果たしています。例えば、データ構造におけるソートアルゴリズムの効率分析や、アルゴリズムの計算量の評価などに用いられます。