マルコフ連鎖（まるこふれんさ）

マルコフ連鎖とは

マルコフ連鎖（Markov chain）は、確率過程の一種であり、ある状態から別の状態へ確率的に遷移していく過程を記述する。この過程の重要な特徴は、「マルコフ性」と呼ばれる性質を持つことである。マルコフ性とは、将来の状態が現在の状態のみに依存し、過去の状態には依存しないという性質を指す。

具体的に言うと、ある時刻 t における状態が Xt であるとき、時刻 t+1 における状態 Xt+1 の確率分布は、Xt のみに依存し、Xt-1, Xt-2, … には依存しない。この性質を満たす確率過程をマルコフ連鎖と呼ぶ。

マルコフ連鎖の数学的表現

マルコフ連鎖は、状態空間 S と、状態間の遷移確率 P で定義される。状態空間 S は、連鎖が取りうるすべての状態の集合であり、遷移確率 P は、ある状態から別の状態へ遷移する確率を表す行列である。

遷移確率 P の要素 Pij は、状態 i から状態 j へ遷移する確率を表す。遷移確率の各行の合計は1になる必要がある。これは、ある状態から必ずどこか別の状態へ遷移することを意味する。

マルコフ連鎖の応用例

マルコフ連鎖は、様々な分野で応用されている。

• 言語モデル: テキストの生成や音声認識において、単語の出現確率をモデル化するために使用される。
• 気象予測: 天候の変化を確率的に予測するために使用される。
• 金融工学: 株価の変動やポートフォリオのリスクを評価するために使用される。
• 生物学: DNA配列の解析や遺伝子ネットワークのモデリングに使用される。
• ページランク: Googleの検索アルゴリズムで使用され、ウェブページの重要度を評価するために使用される。

マルコフ連鎖の種類

マルコフ連鎖には、様々な種類がある。

• 離散時間マルコフ連鎖: 時間が離散的なマルコフ連鎖。
• 連続時間マルコフ連鎖: 時間が連続的なマルコフ連鎖。
• エルゴード性マルコフ連鎖: どのような初期状態から始めても、時間経過とともに状態分布が一定になるマルコフ連鎖。